Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 + 0 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $- 4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $- 7$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим $8$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) ((6 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Развернем $(6 - λ) (3 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $6$ на $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.2

Вычтем $3 λ$ из $- 6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.3

Умножим $0$ на $8$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.2

Добавим $18 - 9 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.3

Перенесем $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.4

Изменим порядок $- 9 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1.1

Добавим $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.1.2

Добавим $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2

Развернем $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 9 λ) + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.2

Умножим $2$ на $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.6

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.7

Умножим $18$ на $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.4

Добавим $2 λ^{2}$ и $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.5

Вычтем $18 λ$ из $- 18 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.6

Перенесем $36$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.7

Перенесем $- 36 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - λ^{3} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.8

Изменим порядок $11 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим противоположные члены в $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Добавим $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0$

Этап 5.6.1.2

Добавим $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0$

Этап 5.6.1.3

Добавим $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ и $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$

Этап 5.6.2

Развернем $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.2

Умножим $11$ на $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.3

Умножим $- 36$ на $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.4

Умножим $3$ на $36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.6

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.6.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.8

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ^{2} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.10

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.10.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{2 + 1} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.11

Умножим $- 1$ на $11$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.14

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Этап 5.6.3.15

Умножим $36$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Этап 5.6.4

Вычтем $11 λ^{3}$ из $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Этап 5.6.5

Добавим $33 λ^{2}$ и $36 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 36 λ$

Этап 5.6.6

Вычтем $36 λ$ из $- 108 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 + λ^{4}$

Этап 5.6.7

Перенесем $108$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + λ^{4} + 108$

Этап 5.6.8

Перенесем $- 144 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 144 λ + 108$

Этап 5.6.9

Перенесем $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Этап 5.6.10

Изменим порядок $- 14 λ^{3}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

Этап 7.1.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.4

Умножим $- 14$ на $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.5

Вычтем $112$ из $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.7

Умножим $69$ на $4$ .

$- 96 + 276 - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.8

Добавим $- 96$ и $276$ .

$180 - 144 \cdot 2 + 108$

Этап 7.1.1.3.9

Умножим $- 144$ на $2$ .

$180 - 288 + 108$

Этап 7.1.1.3.10

Вычтем $288$ из $180$ .

$- 108 + 108$

Этап 7.1.1.3.11

Добавим $- 108$ и $108$ .

$0$

Этап 7.1.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108}{λ - 2}$

Этап 7.1.1.5

Разделим $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ на $λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Этап 7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{4} - 2 λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Этап 7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

Этап 7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

Этап 7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Этап 7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $45 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Этап 7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Этап 7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $45 λ^{2} - 90 λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Этап 7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

Этап 7.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 54 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 54 λ + 108$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Этап 7.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

$0$

Этап 7.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$

Этап 7.1.1.6

Запишем $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ в виде набора множителей.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Этап 7.1.2.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Этап 7.1.2.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Этап 7.1.2.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 45 \cdot 3 - 54$

Этап 7.1.2.3.4

Умножим $- 12$ на $9$ .

$27 - 108 + 45 \cdot 3 - 54$

Этап 7.1.2.3.5

Вычтем $108$ из $27$ .

$- 81 + 45 \cdot 3 - 54$

Этап 7.1.2.3.6

Умножим $45$ на $3$ .

$- 81 + 135 - 54$

Этап 7.1.2.3.7

Добавим $- 81$ и $135$ .

$54 - 54$

Этап 7.1.2.3.8

Вычтем $54$ из $54$ .

$0$

Этап 7.1.2.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54}{λ - 3}$

Этап 7.1.2.5

Разделим $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ на $λ - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

Этап 7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$

Этап 7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} - 3 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Этап 7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Этап 7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$9 λ^{2}$	+	$27 λ$

Этап 7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 λ^{2} + 27 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$

Этап 7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$

Этап 7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Этап 7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Этап 7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							+	$18 λ$	-	$54$

Этап 7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 λ - 54$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$

Этап 7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$
										$0$

Этап 7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} - 9 λ + 18$

Этап 7.1.2.6

Запишем $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ в виде набора множителей.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ^{2} - 9 λ + 18)) = 0$

Этап 7.1.3

Разложим $λ^{2} - 9 λ + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разложим $λ^{2} - 9 λ + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 9$ .

$- 6, - 3$

Этап 7.1.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(λ - 2) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 3))) = 0$

Этап 7.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 3)) = 0$

Этап 7.1.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1.1

Возведем $λ - 3$ в степень $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Этап 7.1.4.1.2

Возведем $λ - 3$ в степень $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Этап 7.1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6)) = 0$

Этап 7.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{2} (λ - 6)) = 0$

Этап 7.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 2 = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ - 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ - 2$ к $0$ .

$λ - 2 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$λ = 2$

Этап 7.4

Приравняем ${(λ - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем ${(λ - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Этап 7.4.2

Решим ${(λ - 3)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Приравняем $λ - 3$ к $0$ .

$λ - 3 = 0$

Этап 7.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ = 3$

Этап 7.5

Приравняем $λ - 6$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ - 6$ к $0$ .

$λ - 6 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$λ = 6$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$ верно.

$λ = 2, 3, 6$